เซต เป็นคำในคณิตศาสตร์ที่ไม่มีนิยามแต่ใช้บ่งบอกถึง “กลุ่ม” ของสิ่งต่างๆ ที่มีลักษณะเหมือนกัน เช่น
เซตของวันทั้งเจ็ด
เครื่องหมาย ∈ หมายถึง เป็นสมาชิก
เครื่องหมาย ∉ หมายถึง ไม่เป็นสมาชิก
A= {1,2,3}
1 ∈ A
2 ∈ A
3 ∈ A
4 ∉ A
การเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ
1. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก
A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {2,3,4,...,26,27,28}
2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข
{x ϵ Ι^+│ -2≤x<3}
ชนิดของเซต
เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้
A = {1,2,3,4,5}
A มีจำนวนสมาชิก 5 ตัว
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารนับจำนวนของสมาชิกได้
B = {1,2,3,…}
เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีจำนวนสมาชิก เขียนแทนด้วย { },∅
เอกภพสัมพัทธ์ คือ ขอบเขตของเซตที่เราจะศึกษา เขียนแทนด้วย U
U= {1,2,3,4,5} เราจะสนใจ 1 , 2 , 3 , 4 , 5
เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้
A = {1,2,3,4,5}
A มีจำนวนสมาชิก 5 ตัว
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารนับจำนวนของสมาชิกได้
B = {1,2,3,…}
เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีจำนวนสมาชิก เขียนแทนด้วย { },∅
เอกภพสัมพัทธ์ คือ ขอบเขตของเซตที่เราจะศึกษา เขียนแทนด้วย U
U= {1,2,3,4,5} เราจะสนใจ 1 , 2 , 3 , 4 , 5
เซตที่ควรรู้จัก
I = เซตของจำนวนเต็ม = {…,-3,-2,-,1,0,1,2,3,…}
N=I^+ = เซตของจำนวนเต็มบวก = {1,2,3,….}
I^- = เซตของจำนวนเต็มลบ = {-1,-2,-3,…}
P = เซตของจำนวนเฉพาะบวก = {2,3,5,7,11,…}
R = เซตของจำนวนจริง
R^+ = เซตของจำนวนจริงบวก
R^- = เซตของจำนวนจริงลบ
ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
1) จำนวนสมาชิกมีค่าเท่ากัน
2) สมาชิกแต่ละตัวเท่ากัน
เช่น {a,b,c} = {a,b,c}
{x│(x-2)(x+3)=0} = {2,-3}
2. การเทียบเท่ากัน คือ จำนวนสมาชิกมีค่าเท่ากัน
{a,b,c} = {1,2,3}
3. สับเซต
1) สัญลักษณ์ ⊂ แทนคำว่า “เป็นสับเซตของ”เซต A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของ
A เป็นสมาชิกของ B
เช่น A = {1,3}
B = {1,2,3,4}
ดังนั้น A ⊂ B
2) สัญลักษณ์ ⊄ แทนคำว่า “ไม่เป็นสับเซตของ”เซต A ไม่เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อมีสมาชิก
เพาเวอร์เวอร์เซตของ A คือสับเซตของเซตทั้งหมด A ใช้สัญลักษณ์ P(A) แทนเพาเวอร์เซตของ
นั่นคือ P(A) = {x│x⊂A}
ตัวอย่าง
A = {1,2,3}
P(A) = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{ }}
สมบัติของเพาเวอร์เซต
1. P(A) ≠ ∅ สำหรับทุก ๆ เซต A
2. ∅∈ P(A)
3. ∅⊂ P(A)
4. A ∈ P(A)
5. ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 2^n ตัว
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
7. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
8. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
2. อินเตอร์เซคชั่น (Intersection)
อินเตอร์เซคชั่นของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งเซต A
และเซต B อินเตอร์เซคชั่นของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A ∩ B
นั่นคือ A ∩ B = {x│x∈A และ x∈B}
บริเวณที่แรงเงาในภาพเวนน์ – ออยเลอร์ต่อไปนี้แสดง A ∩ B ในรูปแบบต่างๆ
เช่น A = {1,3}
B = {1,2,3,4}
ดังนั้น A ⊂ B
2) สัญลักษณ์ ⊄ แทนคำว่า “ไม่เป็นสับเซตของ”เซต A ไม่เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อมีสมาชิก
ของ A อย่างน้อย 1 ตัวที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
เช่น A = {1,2}
B = {2,3,4}
ดั้งนั้น A ⊄ B
ตัวอย่าง
เช่น A = {1,2}
B = {2,3,4}
ดั้งนั้น A ⊄ B
A = {1,2,3} สับเซตดังนี้ {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{ }
*****เซตว่าง เป็นสับเซตของทุกๆเซต*****
*****สับเซตแท้คือสับเซตทุกตัวยกเว้นตัวของมันเอง*****
สมบัติของสับเซต
กำหนด A , B และC ให้เป็นเซตใด
1. ถ้า A เป็นเซตจำกัดและมีสมาชิก n ตัวแล้ว A มีสับเซตทั้งหมด 2^n สับเซต
2. ถ้า A ⊂ B และ A ≠ B แล้วจะเรียก A ว่าเป็นสับเซตแท้ของ B
3. A ⊂ A
4. ∅⊂ A
5. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
6. A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B
*****เซตว่าง เป็นสับเซตของทุกๆเซต*****
*****สับเซตแท้คือสับเซตทุกตัวยกเว้นตัวของมันเอง*****
สมบัติของสับเซต
กำหนด A , B และC ให้เป็นเซตใด
1. ถ้า A เป็นเซตจำกัดและมีสมาชิก n ตัวแล้ว A มีสับเซตทั้งหมด 2^n สับเซต
2. ถ้า A ⊂ B และ A ≠ B แล้วจะเรียก A ว่าเป็นสับเซตแท้ของ B
3. A ⊂ A
4. ∅⊂ A
5. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
6. A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B
4. เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เวอร์เซตของ A คือสับเซตของเซตทั้งหมด A ใช้สัญลักษณ์ P(A) แทนเพาเวอร์เซตของ
นั่นคือ P(A) = {x│x⊂A}
ตัวอย่าง
A = {1,2,3}
P(A) = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{ }}
สมบัติของเพาเวอร์เซต
1. P(A) ≠ ∅ สำหรับทุก ๆ เซต A
2. ∅∈ P(A)
3. ∅⊂ P(A)
4. A ∈ P(A)
5. ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 2^n ตัว
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
7. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
8. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เป็นแผนภาพที่เขียนแทนเซตโดยใช้รูปปิดใด ๆ โดยทั่วไปจะใช้รูปสี่เหลี่ยม
ผืนผ้าแทนเอกภพสัมพัทธ์ และเขียนเซตอื่น ๆ ลงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
เช่น กำหนด U = {1,2,3,4,5}
A = {1,2,3}
B = {2,3,5}
เขียนแทนด้วยแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ได้ดังนี้
การปฏิบัติการทางเซต
1. ยูเนียน (Union)
ยูเนียนของเซต A และ B คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของเซต A หรือของเซต B
หรือของทั้งสองเซต ยูเนียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A ∪ B
นั่นคือ A ∪ B = {x│x∈A หรือ x∈B}
บริเวณที่แรงเงาในภาพเวนน์ – ออยเลอร์ต่อไปนี้แสดง A ∪ B ในรูปแบบต่างๆ
2. อินเตอร์เซคชั่น (Intersection)
อินเตอร์เซคชั่นของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งเซต A
และเซต B อินเตอร์เซคชั่นของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A ∩ B
นั่นคือ A ∩ B = {x│x∈A และ x∈B}
บริเวณที่แรงเงาในภาพเวนน์ – ออยเลอร์ต่อไปนี้แสดง A ∩ B ในรูปแบบต่างๆ
3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
ให้ A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็น
สมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A คอมพลีเมนต์ของ A เขียนแทนด้วย A^'
นั้นคือ A^' = {x│x∈ U และ x∉A}
บริเวณที่แรงเงาในภาพเวนน์ – ออยเลอร์ต่อไปนี้แสดง A ∩ B ในรูปแบบต่างๆ
4. ผลต่าง (Difference)
ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิดของเซต A ซึ่งไม่เป็นสมาชิกของ
เซต B ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A - B
นั้นคือ A - B = {x│x∈ A และ x∉B}
บริเวณที่แรงเงาในภาพเวนน์ – ออยเลอร์ต่อไปนี้แสดง A - B ในรูปแบบต่างๆ
สมบัติบางประการเกี่ยวกับการปฏิบัติการทางเซต
1. กฎการสลับที่
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
2. กฎการเปลี่ยนหมู่
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. กฎการแจกแจง
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. กฎเอกลักษณ์
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅
A ∪ U = U A ∩ U = A
5. กฎการซ้ำ
A ∪ A = A A ∩ A = A
6. กฎของคอมพลีเมนต์
A ∪ A^' = U A ∩ A^' = ∅
∅^' = U U^' = ∅
(A^' )^' = A A – B = A ∩ B^'
7. กฎของเดอร์มอร์กอง
(A∪B)^' = A^'∩B^'
(A∩B)^' = A^'∪B^'
หาจำนวนสมาชิกของเซต
สามารถหาได้ 2 วิธี
1. ใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
2. ใช้สูตร
กำหนดให้ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ A , B และ C เป็นเซตจำกัด ซึ่งต่างก็เป็นสับเซตของเอกภาพสัมพัทธ์
แบบ 2 เซต
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)
แบบ 3 เซต
n(A ∪ B ∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
